在数学王国中,有5个数非常重要,它们所包含的内容和所承担的作用,远远超过了数值的本身,因而比一般数字显得更为神秘,这5个数就是0、1、π、i和e。
像π一样, e也是一个无理数。它的数值是e=2.718281828459…无限而不循环。
在一开始,它偶然出现在计算结果里,但随着科学的发展,人们逐渐发现e的用处很多,特别是如果以它为“底”取自然对数时,可以使很多的算式得到简化,到了后来,它的应用就更加广泛了。可以说,e包罗万象!
真正把e引入到数学研究中来的是瑞士数学家雅各布·伯努利。
雅各布·伯努利
1654年12月27日(这是出生时的旧历,如果按新历算应为1655年1月6日)雅各布·伯努利出生于瑞士巴塞尔的一个商人家庭。
在科学史上,伯努利这个家族可真称得上是学者云集。祖孙三代中,出了8位世界级的著名数学家。在这8人中,还兼有物理学家、天文学家和地理学家。
他们的成果包括:无限级数计算、微积分和微分方程运算的开创者,统计学概率论的开拓者、“大数定律”的创建者,在无限不确定性抉择难题中,那个令人头疼的“圣·彼得堡悖论”的提出者、流体力学“伯努利定理”的创建者,曲线研究的著名学者等。
自青少年起,雅各布就对数学和天文学产生了浓厚的兴趣。1676—1682年这6年间,为学习当时最先进的数学和科学,他游学于整个欧洲,先后跟随罗伯特·波义耳和罗伯特·胡克、克里斯蒂安·惠更斯、笛卡尔等多位大师从学,精读了弗兰斯·万·叔本华、伊萨克·巴罗和约翰·瓦利斯的论文和著作。
1687年,雅各布担任巴塞尔大学的数学教授,以后终生工作在这里。1685年,雅各布出版了逻辑学和概率学的书,1687年,又出版了一本几何学,在这部书中,他证明了任意三角形可以被两个彼此垂直的线分割成面积相等的4块。1682年和1704年,雅各布共发表了5篇关于无限数列研究的论文,1689年又发表了最重要的无限级数研究成果以及统计学中的大数定理等。
1683年在研究无限级数时,雅各布曾讨论过一个有趣的“复利”问题,竟然从结果中发现了e!
复利问题本是人们日常生活中常遇到的事,例如存入银行一笔钱,到期以后,本金加利息一并变成新的本金按原来的利息接着续存,这就叫 “复计利息”,简称“复利”。一般人可能以为,照这样存法,无限地存下去,盈利会越来越高,以致达到无穷。
图源:pexls
但经雅各布计算,情况却并非如此。他把这个问题编写成一个无限级数,从中证明出,如果当初存入的钱数是1,当存的次数无限多时,盈利的总和竟然趋向一个有限的值,而这个值就是e! 1690年,伯努利把这个结果发表在他的系列论文中。
此后很多年的1731年11月25日,大数学家里昂哈德·欧拉在写给数学家克里斯蒂安·哥德巴赫的信中谈到了e这个数,并给它起了个名字,叫它“自然数”,并把它作为对数的“底”取对数,从此有了自然对数。e公开出现是1736年欧拉发表在《力学》杂志上的一篇论文里,在此以后,e开始在数学上有了自己的位置,并作为一个标准常数被引用起来。
令雅各布惊讶的是,e这个奇特的数不只出现在他所计算的“复利”中,还屡屡地出现在其他无限级数求和,例如∑(1/n)、∑(1/n的2次方)的级数求和中;此外在概率的计算中,雅各布还发现了一个无限级数求和的值是e的倒数;接着在一个被称作“帽子保管问题”的无限级数求和中,这个e值又再次出现了。
“帽子保管”问题曾是当时数学界都感兴趣的话题,由于引入了e值,使得雅各布最终把它计算出来。这个问题非常有趣,它说的是,有很多客人被邀请去参加一个聚会,每个人进屋前都要把帽子交给看门人,由他把帽子放到各自的箱子里。本来在每个箱子上都标好了客人的名字,帽子应该对号入座,但是这位看门人并不认识这些客人,他放帽子的时候就随意乱放,并没有按照名字放到该放的箱子里。
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于是,问题就出现了,取帽子的时候,所有客人最多需要选多少次,才能把各自的帽子找出来呢?当然,第一位取帽子的人是最困难的。这也是一个级数求和的问题。当客人数趋于无限大时,在雅各布的计算结果中,惊现出了e。接着,在标准正态分布的计算中,他再次发现了e值。在雅各布数学研究的后期,他非常喜欢研究各种曲线,包括抛物线、双曲线和螺旋线等。研究双曲线函数y=1/x时,在计算曲线下所包含的面积时,又与e值相遇。
后来雅各布研究螺旋线,再一次与e不期而遇。螺旋线有5种形式,对数螺旋、阿基米德螺旋、连锁螺旋、双曲螺旋和回旋螺旋,其中对数螺旋是自然界中最普遍存在的。在研究对数螺旋线时,雅各布发现了一个非常有趣的现象,对数螺旋线的渐近线也是对数螺旋线,而在对数螺旋线各点切线的极点也构成了对数螺旋线,在一种螺旋结构中,居然蕴含着多个层次的螺旋结构,这一绝妙特点,使他惊叹不已!
对数螺旋线也深受艺术家们宠爱。英国著名画家和艺术理论家荷迦兹曾深切感到,逐渐向中心收缩的螺旋形有其难以言表的美!
螺旋线常出现在名画中或先人留下来的壁画中,它们代表了先人对整个宇宙的想象,也宣示了心中对美的感受,而主导螺旋线形体的正是e! 看来人类对螺旋线的宠爱有其内在的数学原因。
在生物学中,海螺壳的结构、向日葵种子的排序、人的指纹和发旋都呈现出螺旋的特点。
海螺壳的结构
作为生命现象基础物质的蛋白质,在参与生命体的整个过程中,它的功能如此高效,其奥秘也与它的螺旋结构有关。蛋白质的多肽链条就是螺旋状的,决定遗传的物质——核酸结构也是螺旋状的,而这些螺旋结构中的奥秘都是由e在左右着。
e同样出现在物理学中,在不知不觉中掌控着自然命运的热力学第二定律中存在着e;在自然界中,从螺旋星云和螺旋星系、台风飓风的气流形,到一缕青烟袅袅上升、老鹰在空中翱翔,都有e的存在;当一首乐曲听起来很美时,仔细研究,也能从节律中找到e;乐音为人所宠爱,而“乐音”产生的空气振动也是一种螺旋尾迹;甚至人类经过漫长岁月的进化,其听觉器官内耳的结构也是螺旋状。
台风飓风的气流形
似乎e包罗世界万象,无所不在。在人类所宠爱的核心中总是e在起着作用。尽管所在的处所不同,却殊途同归地都与这个自然数e挂上了钩。
1690年,在雅各布刚引入e时,他对e的估计值仅到小数点后面的第一位;到了1748年,欧拉使用这个值时,它已经精确到了小数点后的第23位;1949年,美国物理学家约翰·冯·诺依曼,利用计算机,把e计算到了小数点后第2010位;到了2010年7月5日,e向世人现出了更为清晰的面貌,到达了小数点后的第1 000 000 000 000位!有一点可以肯定,无论经过怎样的艰苦努力,人类也不可能看到它的“真值”。看来,自然界之所以不可能完全清晰地显现出它的真实面貌,其内在原因之一就蕴含在像自然数e和π这样的无理数中,这就是大自然的神秘所在!
在雅各布的一生中,他最为挚爱的就是对数螺旋线,他认为这是最具有魔力、也是最令人向往的神秘图线,他要求把这个曲线镌刻在他的墓碑上,并用拉丁语注明他的愿望:“我将变成相同的样式复现而出。”
雅各布的墓碑
雅各布的“灵魂”伴随着e,隐身在他所宠爱的双曲螺旋中!
来源:《科学史上的365天》,略有删改
作者:魏凤文 武轶
编辑:张润昕
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